Nel precedente scritto sull’“energia di moto” abbiamo differenziato l’energia su base temporale dall’energia su base spaziale. A supporto di questa differenziazione abbiamo utilizzato i concetti di quantità di moto (energia su base temporale) ed energia cinetica (energia su base spaziale).
In questo scritto apportiamo una modifica sostanziale alla nostra ipotesi teorica. Tale modifica discende dal concetto di tempo come supporto dell’energia. Caratteristica dell’energia è la varianza/invarianza nel tempo. Il concetto di varianza/invarianza richiede un prima e un dopo. Per osservare un corpo che varia di grandezza, dobbiamo guardarlo due volte (prima e dopo); poi confrontiamo le due percezioni e costatiamo se la grandezza è variata o non è variata.
Da ciò si evince che il tempo, inteso come varianza/invarianza dell’energia, richiede un intervallo temporale tra una pulsazione e l’altra. Dobbiamo, quindi, modificare i nostri disegni e riconsiderare la struttura spazio-temporale dell’energia.
Nella sua forma più semplice, l’energia è una pulsazione. La pulsazione è spazio/temporale. Lo spazio/tempo è movimento. Se c’è movimento, c’è un “ente” che si muove. L’“ente fisico” più semplice è il “punto materiale” di Euclide. Ipotizziamo che la pulsazione sia generata da un punto materiale che si muove di moto rettilineo uniforme. Maggiore è la velocità, maggiore è l’intensità. La pulsazione energetica può essere descritta da un vettore nel quale il punto di applicazione è quello in cui inizia il movimento; la direzione e il verso sono quelli del moto, mentre il modulo è lo spazio diviso il tempo (figura 1).
Figura 1. Pulsazione energetica. L’intensità della pulsazione energetica è descritta dal vettore.
Introduciamo il concetto di “velocità istantanea”. In questo concetto, l’istante corrisponde alla “durata” della pulsazione (che ha una velocità).
Per presupporre la varianza/invarianza della velocità istantanea, occorre ipotizzare che la durata della velocità rimanga costante. Ciò significa che la pulsazione energetica varia esclusivamente col variare dello spazio. Maggiore è lo spazio percorso dal punto materiale di Euclide (nello stesso tempo) più intensa è la pulsazione.
La varianza/invarianza della velocità istantanea richiede un ulteriore tempo. Si tratta dell’intervallo temporale tra una pulsazione e l’altra. Il concetto di varianza/invarianza, infatti, richiede un prima e un dopo. Abbiamo la velocità istantanea prima (seguita dall’intervallo temporale) e la velocità istantanea dopo (preceduta dall’intervallo temporale).
Secondo la nostra ipotesi fondata sulla “realtà esterna”, stiamo descrivendo ciò che realmente accade in natura.
A questo punto della trattazione occorre una digressione. Il tempo, come vedremo nel proseguimento della trattazione, è considerato una grandezza scalare. Si misura, infatti, in secondi. Spesso, però, si rappresenta il tempo con una freccia che ne indica il punto di applicazione, la direzione e il verso. In questa circostanza è da considerarsi un vettore. Nelle immagini che seguono, durate e intervalli temporali sono disegnati con frecce che sono vettori. In altre parole, il tempo, a supporto dell’energia, è un vettore.
Nel mondo macroscopico la durata e l’intervallo temporale hanno la stessa direzione e lo stesso verso. Supponiamo di ascoltare un suono, cui segue un silenzio (intervallo temporale) e poi un altro suono. I tempi dei due suoni e del silenzio hanno la stessa direzione e lo stesso verso. Nel mondo macroscopico, il tempo, costituito da durate e intervalli, ha una sola direzione, che possiamo indicare con una linea ed un solo verso, che possiamo indicare con la freccia. Il tempo è unidimensionale (figura 2).
Figura 2. Tempo come sequenza lineare di durate e intervalli. Durate temporali e intervalli temporali hanno la stessa direzione e lo stesso verso. Ciò rende il tempo unidimensionale.
Il tempo dell’energia non è una sequenza lineare di durate e intervalli. La durata dell’energia ha una direzione e un verso; l’intervallo temporale ha una direzione perpendicolare rispetto alla durata. In altre parole, il tempo dell’energia, nella sua forma più semplice, è bidimensionale (figura 3).
Figura 3. Tempo dell’energia, come sequenza interattiva di durate e intervalli. Per quanto concerne l’energia, le durate temporali hanno direzione perpendicolare rispetto agli intervalli temporali.
Le considerazioni fatte per quanto concerne il tempo, possiamo farle anche per quanto concerne lo spazio. La pulsazione, cioè la velocità istantanea del punto materiale ha un proprio spazio (spazio materiale) che corrisponde alla durata temporale. Tra una pulsazione e l’altra c’è un intervallo spaziale (vuoto), che corrisponde all’intervallo temporale. Le direzioni dei due spazi sono perpendicolari (figura 4).
Figura 4. Spazio dell’energia, come sequenza interattiva di spazi materiali e intervalli spaziali. Per quanto concerne l’energia, gli spazi materiali (delle pulsazioni) hanno direzione perpendicolare rispetto agli intervalli spaziali.
L’energia, nella sua forma più semplice, è bidimensionale. Una dimensione è spazio-temporale e concerne la serie di pulsazioni; l’altra dimensione concerne gli intervalli tra una pulsazione e l’altra. Questi intervalli possono essere temporali o spazio-temporali. La seconda dimensione dell’energia, quindi può essere temporale o spazio-temporale.
Osserviamo l’immagine in basso. È illustrata l’energia come velocità costante. Si tratta di un insieme ordinato di velocità istantanee, precedute e seguite da intervalli temporali. In questa immagine, le frecce sono vettori (figura 5).
Figura 5. Energia come velocità costante. Si tratta di energia bidimensionale, costituita da una serie di pulsazioni spazio-temporali supportata da una serie di intervalli temporali. La serie di pulsazioni costituisce la prima dimensione dell’energia; la serie di intervalli temporali costituisce la seconda dimensione dell’energia.
Il semiprodotto di due velocità istantanee, 1/2 (v x v) = 1/2v2, genera energia nella sua forma più complessa, che è tridimensionale. Due dimensioni spazio-temporali concernono il semiprodotto delle due pulsazioni; la terza dimensione concerne l’intervallo temporale tra le coppie di pulsazioni. Osserviamo l’immagine in basso. Ciascuna coppia di frecce nere raffigura il semiprodotto di due velocità istantanee 1/2 (vt x vt). L’insieme ordinato degli intervalli temporali è la terza dimensione dell’energia (figura 6).
Figura 6. Energia tridimensionale. È costituita da una serie di coppie di pulsazioni spazio-temporali supportata da una serie di intervalli temporali. La serie di coppie di pulsazioni costituisce la prima e la seconda dimensione dell’energia; la serie di intervalli temporali costituisce la terza dimensione dell’energia. Il principio d’inerzia o primo principio della dinamica recita: se su un corpo non agiscono forze o agisce un sistema di forze in equilibrio, il corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.
Nello stato di quiete, la velocità è uguale a zero; nel moto rettilineo uniforme la velocità è costante. “Quiete” e “moto rettilineo uniforme” di un corpo di massa “m” sono “stati energetici intrinseci”. Lo stato energetico intrinseco di un corpo di massa “m” in moto, è la sua “quantità di moto”, definita come il prodotto tra la massa e la velocità: mv.
Nei testi di fisica, la quantità di moto è illustrata con una pallina (massa) e una freccia (vettore velocità) (figura 7).
Figura 7. Quantità di moto. Nei libri di fisica, la quantità di moto è illustrata ad una dimensione. La freccia è il vettore velocità; la pallina è la massa
Introduciamo il concetto d’istante energetico. L’istante energetico è l’energia di un istante. Nel caso della quantità di moto, l’istante energetico è il prodotto tra velocità istantanea e massa (figura 8).
| Figura 8. Istante energetico. È l’energia di un istante. Il tempo dell’istante è quello impiegato dal punto materiale a percorrere lo spazio rappresentato dal vettore. |
La quantità di moto, come linea energetica costituita da un insieme ordinato d’istanti energetici (insieme ordinato di velocità istantanee per la massa), è illustrata in basso. Ogni istante energetico è il prodotto tra massa (pallina) e velocità istantanea (vt). La direzione di moto reale della pallina è la stessa dell’intervallo temporale (da sinistra a destra) (figura 9).
Figura 9. Quantità di moto raffigurata a due dimensioni. È un insieme ordinato di istanti energetici (prima dimensione) supportato da un insieme ordinato di intervalli temporali (seconda dimensione). La direzione e il verso della serie di intervalli temporali sono gli stessi del moto della pallina.
In questa rappresentazione grafica la quantità di moto è costante. Ciò significa che la pallina si muove di moto rettilineo uniforme. Notiamo che l’insieme ordinato è infinito.
Il modulo del vettore “velocità istantanea” (vt) ci informa a che velocità si sta muovendo il corpo. Se il modulo è più grande, la velocità è maggiore.
Il secondo principio della dinamica recita: la forza che agisce su un corpo è direttamente proporzionale alla massa del corpo e all’accelerazione, e ha stessa direzione e verso. Quindi, l’accelerazione è proporzionale alla forza e inversamente proporzionale alla massa. Le formule sono le seguenti: F = ma; a = F/m.
La forza va intesa come “interazione energetica”. Un corpo in stato di quiete o di moto rettilineo uniforme possiede energia. Se è in stato di quiete, l’energia è soltanto quella della massa; se è in moto rettilineo uniforme, la sua energia è la quantità di moto. Quando questo corpo interagisce con qualcosa di esterno a lui, la velocità (con esclusione della massa) diventa “energia d’interazione”. Per tutto il tempo dell’interazione, il corpo cede o assorbe energia. Lo stato d’interazione si manifesta con l’accelerazione quando il corpo assorbe energia; si manifesta con la decelerazione quando il corpo cede energia.
L’interazione energetica è un insieme ordinato di elementi finiti. Gli elementi finiti sono istanti energetici che aumentano/diminuiscono di energia pulsante (velocità istantanea).
In fisica, il concetto di “impulso” è legato alla quantità di moto. L’impulso è la variazione della quantità di moto nel tempo. Supponiamo che un corpo di massa “m” si muova di moto rettilineo uniforme. Esso possiede una certa quantità di moto. Questo corpo interagisce con un altro corpo, la sua quantità di moto aumenta/diminuisce. L’impulso è la variazione della quantità di moto nel tempo.
Osserviamo le due immagini. Un corpo di massa “m” possiede una quantità di moto (linea energetica in alto) prima di un’interazione con un altro corpo. Dopo l’interazione, la sua quantità di moto è quella illustrata dalla linea energetica illustrata in basso (figura 10)
Figura 10. Quantità di moto prima di un’interazione e dopo un’interazione. In questa rappresentazione la quantità i moto del corpo di massa “m” è diminuita.
L’impulso, in fisica, è definito come la variazione della quantità di moto nel tempo. Osserviamo l’immagine in basso. È illustrato l’impulso. Esso è l’insieme ordinato di cinque istanti energetici, in cui è presente variazione di quantità di moto tra l’istante che precede e l’istante che segue. Gli intervalli temporali sono quattro (figura 11)
| Figura 11. Impulso. È un insieme ordinato finito di istanti energetici la cui velocità istantanea varia da un intervallo temporale all’altro. Le frecce nere rappresentano la velocità istantanea che varia istante dopo istante; le frecce rosse raffigurano la velocità che istante per istante si trasferisce sull’altro corpo. |
A questo punto della trattazione, cerchiamo di illustrare, utilizzando la linea energetica, il “lavoro” e l’“energia cinetica”. Il nostro punto di partenza sono le formule della fisica e la differenza tra grandezze scalari e grandezze vettoriali.
In fisica le grandezze non sono tutte dello stesso tipo e, a seconda delle loro caratteristiche, possono essere suddivise in due grandi categorie: scalari o vettoriali.
Le grandezze scalari sono quelle grandezze che possono essere descritte solo con un numero e un’unità di misura. Quel numero rappresenta la loro misura. Sono esempi di grandezze scalari il tempo, la temperatura, la massa.
Le grandezze vettoriali, invece, sono quelle grandezze per cui non è sufficiente un numero e un’unità di misura per definirle. Occorrono anche una direzione e un verso. Sono grandezze vettoriali, appunto, tutte le grandezze fisiche che possono essere identificate da un vettore.
Un vettore è, in parole povere, una freccia. Più precisamente, in matematica si definisce come vettore una classe di segmenti orientati equipollenti, ossia l’insieme di tutti i segmenti dotati di medesima lunghezza, direzione e verso.
Il modulo di un vettore è la sua lunghezza. In fisica, il modulo di un vettore s’identifica con un numero e un’unità di misura. Per esempio, il modulo di una velocità si misura in metri il secondo: m /s.
Esempi di grandezze vettoriali sono la velocità, lo spostamento, l’accelerazione, il campo elettrico, le forze.
Quando una grandezza vettoriale è applicata a un punto di un corpo o dello spazio, si deve anche indicare il suo punto di applicazione. Questa è la principale differenza tra un vettore che rappresenta una grandezza fisica e un vettore come ente matematico.
Il prodotto tra due grandezze scalari è una grandezza scalare; il prodotto tra una grandezza scalare e una grandezza vettoriale è una grandezza vettoriale; il prodotto tra due grandezze vettoriali è una grandezza vettoriale oppure una grandezza scalare.
Non si possono sommare o sottrarre grandezze scalari con grandezze vettoriali. In generale, due grandezze possono essere sommate o sottratte solo se sono omogenee, ossia se hanno la stessa unità di misura. Le grandezze scalari possono essere sommate tra loro secondo le usuali regole dell’algebra. Le grandezze vettoriali, invece, si comportano in modo differente.
Soffermiamoci, adesso sulle formule. L’energia cinetica è una grandezza scalare, il cui valore è il semiprodotto tra la massa e il quadrato della velocità (1/2mv2). Il lavoro è la variazione di energia cinetica nel tempo. Un corpo fermo ha energia cinetica uguale a zero. Col lavoro, generato da un altro ente, il corpo modifica la propria energia cinetica che da zero diventa 1/2mv2.
Inoltre, il lavoro di una forza costante in uno spostamento rettilineo è il prodotto scalare tra i vettori forza e spostamento e si calcola come L = F·s·cos(α), dove α è l’angolo convesso tra i vettori forza e spostamento (figura 12).
Figura 12. Lavoro. È definito come il prodotto tra forza, spostamento e il coseno dell’angolo α. Forza e spostamento sono grandezze vettoriali e quindi sono illustrati con frecce. Forza e spostamento hanno lo stesso punto di applicazione.
I tre casi più semplici sono quelli in cui l’angolo α ha valore: 90 gradi, 0 gradi e 180 gradi. Avremo: coseno di 90 gradi = 0; coseno di 0 gradi = 1, coseno di 180 gradi = -1.
Osserviamo l’immagine in basso sono illustrati i tre casi suddetti. Quando l’angolo α è di 90 gradi, forza e spostamento hanno direzione perpendicolare. In questa circostanza, il coseno di α è uguale a 0; il prodotto tra forza e spostamento è 0. Quando l’angolo α è di 0 gradi, il coseno di α è +1: il prodotto tra forza e spostamento è + Fs. Il segno “+” indica che i due versi sono concordi. Quando l’angolo α è di 180 gradi, il coseno di α è -1: il prodotto tra forza e spostamento è – Fs. Il segno “-“ indica che i due versi sono discordi (figura 13).
| Figura 13. Prodotto tra forza e spostamento quando il coseno di alfa è uguale a novanta gradi (figura in alto), quando il coseno di alfa è uguale a zero gradi (figura centrale) e quando il coseno di alfa è uguale a centoottanta gradi (figura in basso). |
Per chiarire il legame tra energia cinetica e lavoro facciamo un esempio che concerne il terzo caso, cioè quello in cui i versi di forza e spostamento sono discordi (in opposizione). Supponiamo di volere arrestare un’auto che si muove di moto rettilineo uniforme alla velocità di 3 km/h. Applichiamo con le mani una forza costante che dobbiamo mantenere su un percorso abbastanza lungo da fermare l’auto. Il prodotto della forza esercitata, per fermare l’auto, moltiplicato per lo spazio lungo il quale abbiamo esercitato questa forza si chiama “lavoro meccanico” ed è uguale all’energia cinetica iniziale dell’auto. Possiamo misurare la forza applicata, la lunghezza, la velocità iniziale e fare i conti. Risulterà che il lavoro fatto è pari a L = forza x lunghezza percorso, questo numero è uguale all’energia cinetica iniziale 1/2 x m x v2, dove m è la massa dell’auto in kg e v è la velocità iniziale in m/s.
Il concetto di “energia cinetica” racchiude il secondo e il terzo principio della dinamica di Newton. Per spostare un corpo dobbiamo esercitare una forza (secondo principio) e contrastare la reazione del corpo al movimento (principio di azione-reazione). L’energia cinetica è quindi il prodotto di due forze, la prima è quella che noi esercitiamo per arrestare la macchina; la seconda è quella che si manifesta col rallentamento della macchina stessa.
Ipotizziamo che nell’energia cinetica istantanea, il valore 1/2v2 sia la superficie di un triangolo rettangolo, i cui lati sono i due vettori, che rappresentano la velocità istantanea. Si tratta di un prodotto scalare tra le due velocità istantanee. Osserviamo l’immagine in basso. È illustrata l’energia cinetica istantanea. L’istante è il tempo delle due pulsazioni. La pallina blu è la massa. L’area del triangolo rettangolo è il prodotto scalare 1/2v2 (figura 14).
Figura 14. Energia cinetica istantanea. È il prodotto tra la massa e il semiprodotto scalare tra i due vettori, ciascuno dei quali ha l’energia della velocità.
La forma del triangolo rettangolo dipende dalla forza con cui si cerca di fermare il moto della macchina. Minore è la forza, maggiore è lo spostamento; maggiore è la forza, minore è lo spostamento.
Osserviamo l’immagine in basso. È illustrata l’energia cinetica istantanea dell’autovettura e le possibili energie cinetiche d’interazione generate dalla forza applicata alla macchina e dal suo spostamento. La forma dell’energia d’interazione dipende dalla forza che applichiamo per fermare la macchina (figura 15).
Figura 15. Forma dell’energia cinetica. L’energia cinetica delle quattro figure è la stessa. Ciò significa che i quattro triangoli hanno la stessa area. La differente forma dipende dalla forza esterna esercitata sull’auto. Maggiore è la forza, minore è lo spostamento. La prima figura rappresenta l’energia cinetica dell’autovettura. Le altre sono energia d’interazione.
Durante l’interazione, l’energia cinetica, istante per istante, diminuisce fino ad annullarsi (la macchina si arresta) (figura 16).
Figura 16. Variazione dell’energia cinetica. Istante per istante l’autovettura rallenta con relativa diminuzione dell’energia cinetica, fino a che l’autovettura non si ferma.
Il lavoro è l’insieme ordinato di istanti energetici in cui è presente variazione di energia cinetica (figura 17).
Figura 17. Il lavoro. È l’insieme ordinato di istanti energetici in cui l’energia cinetica varia da un intervallo temporale all’altro.
Osserviamo le due immagini. In alto è raffigurato l’impulso; in basso è rappresentato il lavoro. Si tratta di due insiemi ordinati finiti di istanti energetici. La differenza tra impulso e lavoro dipende dall’istante energetico. L’energia istantanea dell’impulso è la quantità di moto. L’energia istantanea nel lavoro è l’energia cinetica (figura 18).
Figura 18. Impulso e lavoro. In alto è raffigurato l’impulso; in basso è raffigurato il lavoro. I due insiemi ordinati sono pressappoco uguali. L’unica differenza è data dall’istante energetico. Nell’impulso, l’istante energetico è la quantità di moto istantanea; nel lavoro, l’istante energetico è l’energia cinetica istantanea.