L’equilibrio bilanciato di masse         

Partiamo dall’ipotesi che la linea di forza (o linea energetica) sia un’interazione tra pulsazioni a-energetiche e pulsazioni energetiche. Le prime sono alla velocità della luce; le seconde sono a velocità decrescente. L’energia pulsante decresce con la legge del quadrato delle distanze. Questa diminuzione avviene in modo discontinuo, salto quantistico (pulsazione a-energetica) per salto quantistico.

Osserviamo l’immagine in basso. La serie di pulsazioni a-energetiche sono raffigurate con frecce nere tratteggiate. La serie di pulsazioni energetiche sono raffigurate con frecce rosse. La serie di pulsazioni a-energetiche (salti quantistici) avviene alla velocità della luce. Ogni salto quantistico è uguale all’altro. Questa serie, inoltre è la linea di moto della linea energetica. Ogni freccia rossa è l’energia data dalla velocità istantanea puntiforme del punto materiale. Questa velocità istantanea diminuisce con la legge del quadrato delle distanze (figura 1).

Figura 1. Linea energetica (o linea di forza). E’ costituita dall’interazione riferimento/riferito di due serie di pulsazioni. La serie che funge da riferimento è a-energetica. Si tratta di salti quantistici alla velocità della luce (frecce nere). La serie che funge da riferito è energetica. Si tratta di velocità istantanee di un punto materiale (frecce rosse). Queste velocità decrescono con la legge del quadrato delle distanze.

Il tensore gravitazionale è una linea energetica delimitata da una massa sorgente e da una massa d’interazione. La linea di moto dei salti quantistici va dalla massa sorgente alla massa d’interazione. L’energia tensoriale è data dalla serie di pulsazioni energetiche dalla massa sorgente alla massa d’interazione (figura 2). 

Figura 2. Tensore gravitazionale. E’ una linea energetica delimitata da due masse una sorgente e l’altra d’interazione. Il tensore gravitazionale ha un’energia tensoriale che è data dalla serie di pulsazioni energetiche che partono dalla massa sorgente e arrivano alla massa d’interazione.

Per chiarezza illustrativa, disegniamo la serie di pulsazioni energetiche perpendicolari alla linea serie di salti quantistici. Supponiamo di avere punti massa sorgente di peso uno il doppio dell’altro. Osserviamo l’immagine in basso. Il punto massa rosso ha un peso doppio rispetto al punto massa blu. A questo peso doppio corrisponde un’intensità doppia della pulsazione energetica, salto quantistico per salto quantistico. Le frecce rosse e blu rappresentano le pulsazioni energetiche. Si noti come a ogni freccia blu corrisponde una freccia rossa di intensità doppia. Il rapporto di 2/1 tra le masse si mantiene costante è uguale al  rapporto 2/1 tra le pulsazioni energetiche. L’energia sorgente è la velocità istantanea del punto materiale nel punto sorgente; l’energia d’interazione è la velocità istantanea del punto materiale nel punto d’interazione (figura 3).

Figura 3. Confronto tra due masse di peso relativo una il doppio dell’altra con i loro tensori gravitazionali. Il tensore gravitazionale della massa più pesante ha energia sorgente ed energia d’interazione il doppio rispetto alla massa più leggera. L’energia sorgente e l’energia d’interazione sono puntiformi. Esse sono date dalla velocità istantanea del punto materiale all’inizio e alla fine di ciascun tensore.

Due masse di peso diverso possono avere la stessa energia d’interazione. In questa circostanza la massa più pesante ha un tensore gravitazionale proporzionalmente più lungo. Osserviamo l’immagine in basso. Le due masse sono una il doppio dell’altra; i tensori gravitazionali sono di lunghezza uno il doppio dell’altro. L’energia d’interazione è uguale. La proporzionalità diretta tra massa e tensore dipende da tre fattori. Il primo è la proporzionalità diretta tra energia sorgente e massa sorgente. Maggiore è la massa sorgente maggiore è l’energia sorgente. Il secondo fattore è la legge del quadrato delle distanze. L’energia puntiforme (velocità istantanea) decresce in ogni tensore in modo ordinato con la legge del quadrato delle distanze. Il terzo fattore è l’energia d’interazione che è uguale per ambedue i tensori. Questi tre fattori fanno sì che a massa doppia corrisponde doppia lunghezza del tensore gravitazionale (figura 4).

Figura 4. Proporzionalità diretta tra masse e tensori. Fissata un’energia d’interazione uguale, vi è una proporzionalità diretta tra due masse e i rispettivi tensori gravitazionali. La massa con peso doppio, ha un tensore gravitazionale di lunghezza doppia; la massa con peso la metà ha un tensore gravitazionale di metà lunghezza. Ciò dipende dalla legge del quadrato delle distanze con cui decrescono le pulsazioni energetiche e dalla proporzionalità diretta tra massa sorgente ed energia di pulsazione sorgente. 

Due masse sono in equilibrio bilanciato quando si attirano l’un l’altra con la stessa intensità, cioè quando l’energia d’interazione è uguale. Per raggiungere questo equilibrio, la massa più pesante utilizza un tensore più lungo, rispetto alla massa più leggera.

Osserviamo l’immagine in basso. Le due masse indicate con pallini blu e rosso sono in equilibrio bilanciato. Notiamo, infatti, che l’energia d’interazione (pulsazione d’interazione) è uguale. Le due masse, quindi, si attirano con la stessa intensità. La massa rossa è doppia rispetto alla massa blu. Le due energie tensoriali trasducono nel centro di massa. Ciò significa che la massa rossa è attirata dal centro di massa con un’energia che proviene dalla massa blu; la massa blu è attirata dal centro di massa con un’energia che proviene dalla massa rossa. Il prodotto tra massa blu e lunghezza del tensore gravitazionale trasdotto è uguale al prodotto della massa rossa per la lunghezza del tensore gravitazione trasdotto (figura 5).

Figura 5. Equilibrio bilanciato. Si ha equilibrio bilanciato quando due masse di peso qualsiasi hanno la stessa pulsazione d’interazione (energia istantanea d’interazione). L’equilibrio bilanciato è mediato dal centro di massa. Si tratta di un punto in cui le due energie trasducono, cioè si portano al di là. Dal centro di massa ciascuna massa attira l’altra. Due masse dal peso una il doppio dell’altra generano bracci di energia trasdotta uno il doppio dell’altro. 

Nella legge di gravitazione di Newton: F = Mm/d2, la forza F corrisponde all’energia d’interazione puntiforme, cioè alla velocità istantanea del punto materiale. Essa è uguale per ciascuna massa. Se le due masse si allontanano, l’energia puntiforme diminuisce mantenendosi uguale per ambedue le masse.  L’equilibrio bilanciato è un’interazione tra masse e tensori (o bracci). Nell’equilibrio bilanciato sia le masse, sia i bracci hanno grandezza relativa. Le grandezze relative si differenziano dalle grandezze assolute per la mancanza di un sistema di riferimento comune. Chiariamo questo punto importante.

Quando misuriamo le grandezze, utilizziamo come sistema di riferimento spaziale, il sistema metrico decimale (metro, decimetro, ecc..) e come sistema di riferimento temporale il sistema sessagesimale (minuto, secondo, ecc.). Supponiamo di avere due segmenti e di misurarli tramite un metro. Stiamo misurando la loro grandezza assoluta. Costatiamo che uno misura un metro e l’altro misura due metri. Supponiamo adesso di confrontare le due grandezze. Il confronto mi fa conoscere la grandezza relativa di uno (riferito) rispetto all’altro (riferimento). Dal confronto mi accorgo che il primo segmento è la metà del secondo e che il secondo è il doppio del primo.

Supponiamo adesso di misurare altri due segmenti e di costatare che il primo è lungo tre metri e il secondo è lungo sei metri.  Stiamo misurando la loro grandezza assoluta. Facciamo adesso il confronto tra le due lunghezze. Osserviamo che il primo è la metà del secondo e il secondo è il doppio dell’altro.

Questi due esempi chiariscono la differenza tra grandezza assoluta e relativa. Due oggetti possono modificare la loro grandezza assoluta, mantenendo inalterata la loro grandezza relativa.

Nell’equilibrio bilanciato, peso delle masse e lunghezza dei tensori gravitazionali sono grandezze relative. Due masse di grandezza relativa 1/2 e 1/3, hanno due bracci di energia trasdotta di lunghezza relativa 2 e 3. Notiamo che la massa più grande (1/2) ha il braccio più piccolo (2); la massa più piccola (1/3) ha il braccio più grande (3). Trattandosi di grandezze relative, le due masse possono avere bracci di grandezze relative 4 e 6. Infatti, 2 sta a 3 come 4 sta a 6.  Analogamente, due bracci di lunghezza relativa 2 e 3 possono essere associati a due masse di grandezza relativa 6 e 4. Infatti, 6 sta a 4 come 1/2 sta a 1/3.

Chiarita la struttura del tensore gravitazionale e i rapporti tra energia e massa, illustriamo il tensore in modo più semplice. Utilizziamo un vettore dello stesso colore della massa, il cui modulo indica la lunghezza del tensore.

Possiamo interpretare i segmenti e i poligoni come figure che si ottengono ponendo ai vertici masse in equilibrio bilanciato.

Consideriamo due “punti massa” “M” e “m” di uguale peso. A essi sono associati due bracci rispettivamente “B” e “b”, equidistanti dal fulcro “f”. Il segmento Mm è una linea retta, somma dei due bracci, congiungente i due punti massa. Essendo le due masse uguali possiamo indicare il loro peso con due numeri frazionari uguali: 1/2 e 1/2; possiamo anche indicare la lunghezza dei due bracci con i numeri interi: 2 e 2. Sappiamo che: M1/2 x B2 = m1/2 x b2. Il fulcro “f” è il centro di equilibrio tra le due masse. Esso è l’“incentro” (figura 6).

Figura 6. Equilibrio bilanciato di due masse di uguale peso. Due masse di peso uguale M 1/2  e m1/2 sono in equilibrio bilanciato quando interagiscono attraverso due bracci B2 e b2 di uguale lunghezza diretti verso il fulcro comune. Il peso delle masse è inversamente proporzionale alla lunghezza dei bracci. Il fulcro è il centro di equilibrio delle due masse. Corrisponde all’incentro.   

Supponiamo che i punti massa siano di peso diverso. Una massa pesa il doppio dell’altra. Con i numeri frazionari possiamo indicare le grandezze relative delle due masse con 1/2 e 1/4. Le lunghezze relative dei due bracci saranno 2 (associato alla massa 1/2) e 4 (associato alla massa 1/4). Il fulcro “f” è l’incentro. Abbiamo: m1/2 x b2 = m1/4 x b4, dove b2 è il braccio dell’energia trasdotta di m1/4 e b4 è il braccio dell’energia trasdotta di m1/2 (figura 7).

Figura 7. Equilibrio bilanciato di due masse di peso una il doppio dell’altra. Due masse di peso m 1/2  e m1/4 sono in equilibrio bilanciato quando interagiscono attraverso due bracci b2 e b4 diretti verso il fulcro comune. Il peso delle masse è inversamente proporzionale alla lunghezza dei bracci.  

L’equilibrio bilanciato può essere illustrato con due masse legate al soffitto con una corda agganciata all’incentro. Il peso maggiore di m1/2 rispetto a m1/4 è compensato dalla diversa lunghezza dei bracci (figura 8).

Figura 8. Equilibrio bilanciato di due masse di peso una il doppio dell’altra illustrato attraverso una corda appesa al soffitto. Le due masse di peso m 1/2  e m1/4 con due bracci b2 e b4 sono in equilibrio bilanciato. Esse possono essere legate al soffitto tramite una corda che le sostiene dal fulcro.

Nell’equilibrio bilanciato tra due masse, gli elementi che entrano in relazione sono i bracci e le masse. I bracci non hanno peso. Si tratta, infatti, di tensori gravitazionali, cioè linee energetiche che partono dal centro di massa e interagiscono con ciascuna massa. Possiamo però cercare il centro di massa di un corpo rigido a forma di barretta, in cui la massa è distribuita in modo uniforme.  In questa circostanza, il centro di massa si trova esattamente al centro della barretta. Esso è il baricentro geometrico.

Il baricentro geometrico si differenzia dall’incentro geometrico per la distribuzione della massa. Il baricentro geometrico è il punto medio di una massa uniformemente distribuita. L’incentro geometrico è il punto di equilibrio di masse puntiformi.

Osserviamo le due immagini della figura 9. In alto è illustrato l’incentro di due masse puntiformi dal peso relativo una il doppio dell’altra; in basso è illustrato il baricentro di una massa uniformemente distribuita a forma di barretta.

Figura 9. Differenza tra incentro di due masse una il doppio dell’altra e baricentro di una barretta di massa uniformemente distribuita. Il baricentro è il centro geometrico. Esso è equidistante dalle due estremità della barretta. L’incentro, invece, si trova nel punto in cui un braccio è esattamente il doppio dell’altro.

Soffermiamoci sull’equilibrio bilanciato di tre masse. In questa circostanza, l’interazione coinvolge masse, bracci e angoli. In particolare, tre masse in equilibrio bilanciato si dispongono ai vertici di un triangolo, i cui angoli sono direttamente proporzionali alle masse e inversamente proporzionali ai bracci.

Soffermiamoci sul caso più semplice: il triangolo equilatero. Questa figura geometrica è il poligono regolare che descrive l’equilibrio bilanciato di tre masse di uguale peso disposte ai vertici. Essendo le tre masse di peso uguale, sono uguali anche i bracci e gli angoli. Questi ultimi hanno un valore di 600.

Costruiamo l’incentro di tre corpi, partendo dal caso più semplice: tre corpi di massa uguale. Le tre masse interagiscono a coppia generando tre incentri, uno per ogni coppia. Ogni coppia è costituita da due masse di uguale peso. I due bracci che descrivono l’interazione sono di uguale lunghezza.

Osserviamo l’immagine in basso. Le tre masse hanno peso 1/2 e i bracci hanno lunghezza 2. Masse e bracci sono disegnati con colori diversi: blu, rosso e verde. Il fulcro è l’incentro di ciascuna coppia. Ogni lato del triangolo è formato da due bracci con centro il fulcro (figura 10).

Figura 10. Equilibrio bilanciato di tre masse di peso uguale. Le masse hanno peso 1/2 e i bracci hanno lunghezza 2. Le tre masse si dispongono ai vertici di un triangolo equilatero. Ciascuna massa interagisce con le altre due. Le interazioni di coppia sono tre. I punti “f” sono l’incentro di ciascuna coppia.

Il fulcro è l’incentro dell’interazione a coppia. Da ciascun fulcro tracciamo la retta perpendicolare al lato. Il punto d’incontro delle tre rette è l’incentro geometrico. Nel caso del triangolo equilatero, l’incentro coincide col baricentro e con l’ortocentro (figura 11).

Figura 11. Incentro di tre masse di uguale peso. Esso si ottiene tracciando le perpendicolari a ciascun lato partendo dai fulcri. Il punto d’incontro delle tre perpendicolari è l’incentro.

Per quanto concerne i bracci, cioè i tensori gravitazionali, differenziamo l’interazione di equilibrio dalla composizione.  Due o più bracci, interagiscono attraverso un fulcro, cioè di un centro di massa, disponendosi in equilibrio bilanciato, come abbiamo spiegato in precedenza. Due bracci possono legarsi assieme generando un braccio che è il risultato della loro composizione. La composizione avviene a due condizioni. I bracci devono essere di uguale lunghezza e gli angoli devono essere di uguale ampiezza.

Osserviamo l’immagine in basso (figura 12). Sono illustrati due bracci di uguale grandezza che si legano componendo un braccio più lungo. Le linee tratteggiate sono le perpendicolari ai due bracci. I due angoli sono di uguale ampiezza.

Figura 12. Composizione di due bracci di uguale lunghezza. Il braccio di colore nero è la somma dei due bracci blu. Esso si ottiene tracciando le perpendicolari a ciascun braccio componente.

La composizione è la somma di due bracci uguali. Essa è a simmetria assiale. L’interazione di due o più bracci è a simmetria bilanciata.

Osserviamo l’immagine in basso (figura 13). I lati del triangolo equilatero sono generati dalle tre interazioni a coppia. Essendo i pesi delle masse uguali, i bracci di ciascun’interazione sono uguali. I tre lati del triangolo, quindi, sono formati da tre coppie di bracci uguali. In ogni vertice del triangolo due bracci si legano in composizione. Le composizioni sono tre, una per ogni vertice. I bracci generati dalle tre composizioni interagiscono tramite un centro di massa, che è l’incentro del triangolo. Ciascuna massa è attirata verso l’incentro attraverso tre bracci di uguale dimensione.  

Figura 13. Incentro e fulcri di tre masse di uguale peso. I tre fulcri sono il centro di equilibrio dell’interazione a coppia di masse di uguale peso. L’incentro è il centro di equilibrio dell’interazione di tre masse di uguale peso. Ciascun fulcro attira due masse attraverso bracci di uguale grandezza. In ogni vertice, due bracci si legano in composizione. I tre legami di composizione a coppia, generano tre bracci che interagiscono tramite il centro di massa, cioè l’incentro. L’incentro attira le tre masse attraverso bracci della stessa lunghezza.

L’immagine in basso raffigura tre masse dello stesso peso con tre bracci che legano ciascuna di esse all’incentro (figura 14).

Figura 14. Incentro, masse di peso uguale e bracci d’interazione. L’incentro è il punto verso cui le tre masse sono attirate. Essendo le tre masse di uguale peso, i tre bracci hanno la stessa grandezza.

L’incentro in un poligono è il punto d’incontro delle bisettrici.

Stabilito che il centro dell’equilibrio bilanciato tra masse è il punto d’incontro delle bisettrici, è facile disegnare l’incentro e i suoi bracci. A noi, però, interessa sottolineare l’interazione tra masse e bracci. Per tale motivo, disegniamo l’incentro, partendo dalle masse e dai bracci che stanno in un rapporto di proporzionalità diretta.

Soffermiamoci sul triangolo rettangolo i cui lati sono lunghezze espresse da una terna pitagorica. La terna pitagorica è costituita da tre numeri interi x, y, z, tali che x2 + y2 = z2. Consideriamo la prima terna pitagorica dei numeri interi positivi: 3, 4, 5. Sappiamo che 32 (9) + 42 (16) = 52 (25). Le tre masse che generano il triangolo rettangolo di questa terna pitagorica sono di peso relativo: 1, 1/2, 1/3.  I loro bracci sono di lunghezze relative 1, 2 e 3.

Abbiamo scritto che le masse sono direttamente proporzionali agli angoli e inversamente proporzionali ai bracci. Il triangolo descritto dalla terna pitagorica 3, 4, 5 ha tre angoli rispettivamente di 30, 60 e 90 gradi. Al vertice dell’angolo di 30  gradi si dispone la massa di peso relativo 1/3 con braccio di lunghezza relativa 3; al vertice dell’angolo di 60 gradi si dispone la massa di peso relativo 1/2 con braccio di lunghezza relativa 2; al vertice dell’angolo di 90 gradi si dispone la massa di peso relativo 1 con braccio di lunghezza relativa 1. Osserviamo l’immagine in basso sono illustrate le tre masse con i relativi bracci la cui disposizione nello spazio genera un triangolo rettangolo (figura 15).

Figura 15. Masse e bracci il cui peso relativo e grandezza relativa sono tali da disporsi nello spazio generando un triangolo rettangolo. Le tre masse hanno peso relativo: 1, 1/2 e 1/3. I tre bracci hanno lunghezza relativa: 1, 2, 3

Ciascun lato del triangolo è formato da due bracci con centro un fulcro. Osserviamo l’immagine in basso (figura 16). Soffermiamoci sull’interazione tra m1 e m1/2. Sappiamo che la massa m1 è il doppio della massa m1/2; il braccio b1 di  m1 è 1/2 del braccio  b2  di m1/2. Soffermiamoci sull’interazione tra m1/3 e m1. La massa m1 è il triplo della massa m1/3; il braccio b1 di  m1 è 1/3 del braccio  b3  di m1/3. Soffermiamoci sull’interazione tra m1/2 e m1/3.La massa m1/2 è 3/2 della massa m1/3; il braccio b2 di m1/2 è 2/3 del braccio b3 di m1/3.

Figura 16. Equilibrio di masse di peso relativo: 1, 1/2 e 1/3. I tre bracci hanno lunghezza relativa: 1, 2, 3. Queste masse si dispongano ai vertici di un triangolo rettangolo i cui angoli sono di 90, 60 e 30 gradi. Nell’angolo di 90 gradi si dispone la massa di peso 1; nell’angolo di 60 gradi si dispone la massa di peso 1/2;  nell’angolo di 30 gradi si dispone la massa di peso 1/3. Le interazioni a coppia dei bracci generano tre fulcri.

Osserviamo l’immagine in basso. Sono illustrate le masse di peso relativo 1, 1/2 e 1/3, che generano un triangolo rettangolo con angoli di 90, 60 e 30 gradi. Sono messi in evidenza i tensori gravitazionali (bracci) che interagiscono a coppia su ciascun lato attraverso tre fulcri. Notiamo le tre composizioni (frecce di uguale colore) una per ogni vertice.  Ogni composizione genera un tensore che è la somma dei due componenti. I tre tensori composti interagiscono a terna attraverso l’incentro (figura 17).

Figura 17. Masse e bracci di un triangolo rettangolo con angoli di 90, 60 e 30 gradi.  A masse più grandi corrispondono bracci più piccoli. I bracci interagiscono a coppia generando i tre lati. Per ogni vertice due bracci si compongono in un braccio che è la somma dei due componenti (frecce di uguale colore). L’interazione ternaria dei bracci composti genera l’incentro.

Mostriamo la differenza tra baricentro e incentro di un triangolo. Quando consideriamo il baricentro di un triangolo, dobbiamo immaginare che il triangolo sia costituito da una superficie materiale uniforme che ha un peso. Possiamo, per esempio, immaginare una tavola di compensato a forma di triangolo rettangolo. Ai vertici di questo triangolo non vi è alcuna massa. Il baricentro è il punto medio di distribuzione della massa. Osserviamo l’immagine in basso (figura 18). E raffigurato un triangolo rettangolo materiale con le sue tre mediane. Il punto d’intersezione delle mediane è il baricentro geometrico.

Figura 18. Baricentro geometrico.  E’ il punto d’intersezione delle tre mediane. Corrisponde al centro di massa di un triangolo formato da materia uniformemente distribuita. Possiamo immagine che il triangolo della figura sia di compensato.

Una peculiarità dell’incentro (o centro di equilibrio tra masse) è che esso è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo (figura 19).

Figura 19. Incentro e circonferenza iscritta.  L’incentro di un triangolo è anche il centro della circonferenza inscritta.

Soffermiamoci sul triangolo isoscele generato da tre masse di cui due uguali, disposte ai vertici della base e una il doppio, disposta al vertice dei due lati uguali. Per la legge di proporzionalità tra masse, angoli e bracci, l’angolo al vertice dei due lati uguali è il doppio (90 gradi) di ciascuno dei due angoli ai vertici della base (45 gradi + 45 gradi). Il peso relativo delle tre masse è 1, 1/2 e 1/2. La lunghezza relativa dei tre bracci è 1, 2, 2. Abbiamo m1 con braccio b1, m1/2 con braccio b2 e m1/2 con braccio b2 (figura 20).

Figura 20. Bracci e masse di un triangolo isoscele dagli angoli di 90, 45 e 45 gradi. Le tre masse hanno peso.  1, 1/2, 1/2. La lunghezza dei bracci è 1, 2, 2.

Osserviamo l’immagine in basso (figura 21). E’ illustrato il triangolo isoscele generato da tre masse di peso 1, 1/2, 1/2,  disposte ai vertici. I bracci hanno lunghezza 1, 2, 2.

Figura 21. Triangolo isoscele generato da tre masse di peso: 1, 1/2, 1/2. La massa di peso 1 si dispone all’angolo di 90 gradi; le due masse di peso 1/2, si dispongono agli angoli di 45 gradi.

Osserviamo l’immagine in basso. Sono mostrate le interazioni binarie e l’interazione ternaria dei bracci di un triangolo isoscele generato da masse di peso 1, 1/2, e 1/2. L’incentro del triangolo è il centro di massa dell’interazione ternaria (figura 22).

Figura 22. Incentro e fulcri di un triangolo isoscele generato da tre masse di peso: 1, 1/2, 1/2.

Soffermiamoci sul triangolo isoscele generato da tre masse di cui due uguali, disposte ai vertici della base e una la metà, disposta al vertice dei due lati uguali. Per la legge di proporzionalità tra masse, angoli e bracci, l’angolo al vertice dei due lati uguali è la metà (36 gradi) di ciascuno dei due angoli ai vertici della base (72 gradi + 72 gradi). La somma dei tre angoli è: 36 + 72 +72 = 180.

Il peso relativo delle tre masse è 1, 1, e 1/2. La lunghezza relativa dei tre bracci è 1, 1, 2. Abbiamo m1 con braccio b1, m1 con braccio b1 e m1/2 con braccio b2 (figura 23).

Figura 23. Bracci e masse di un triangolo isoscele dagli angoli di 36, 72 e 72 gradi. Le tre masse hanno peso.  1, 1, 1/2. La lunghezza dei bracci è 1, 1, 2.

Osserviamo l’immagine in basso (figura 24). E’ illustrato il triangolo isoscele generato da tre masse di peso 1, 1, 1/2,  disposte ai vertici. I bracci hanno lunghezza 1, 1, 2.

Figura 24. Triangolo isoscele generato da tre masse di peso: 1, 1, 1/2. La massa di peso 1/2 si dispone all’angolo di 36 gradi; le due masse di peso 1, si dispongono agli angoli di 72 gradi.

Osserviamo l’immagine in basso. Sono mostrate le interazioni binarie e l’interazione ternaria dei bracci di un triangolo isoscele generato da masse di peso 1, 1, e 1/2. L’incentro del triangolo è il centro di massa dell’interazione ternaria (figura 25).

Figura 25. Incentro e fulcri di un triangolo isoscele generato da tre masse di peso: 1, 1, 1/2.

Costruiamo l’incentro di un triangolo partendo dalla misura degli angoli. Supponiamo che i tre angoli misurino: 80, 60 e 40 gradi. Per la legge di proporzionalità tra angoli, masse e bracci, i bracci hanno lunghezza relativa: 2 (40 gradi), 3 (60 gradi), 4 (80 gradi) mentre le masse hanno peso relativo 1/2, 1/3 e 1/4. Abbiamo m1/2 con braccio b2, m1/3 con braccio b3 e m1/4 con braccio b4 (figura 26)

Figura 26. Bracci e masse di un triangolo dagli angoli di 40, 60 e 80 gradi. Le tre masse hanno peso.  1/2, 1/3, 1/4. La lunghezza dei bracci è 2, 3, 4.

Osserviamo l’immagine in basso. E’ illustrato un triangolo dagli angoli di 40, 60 e 80 gradi generato da tre masse di peso 1/2, 1/3, 1/4,  disposte ai vertici. I bracci hanno lunghezza 2, 3, 4 (figura 27).

Figura 27. Triangolo con gli angoli di 40, 60 e 80 gradi generato da tre masse di peso: 1/2, 1/3, 1/4. La massa di peso 1/2 si dispone all’angolo di 40 gradi; la massa di peso 1/3 si dispone all’angolo di 60 gradi,  la massa di peso 1/4 si dispone all’angolo di 80 gradi.

Osserviamo l’immagine in basso. Sono mostrate le interazioni binarie e l’interazione ternaria dei bracci di un triangolo generato da masse di peso 1/2, 1/3, e 1/4. L’incentro del triangolo è il centro di massa dell’interazione ternaria (figura 28).

Figura 28. Incentro e fulcri di un triangolo generato da tre masse di peso: 1/2, 1/3, 1/4.

Tutti i triangoli possiedono un incentro. Ciò significa che tre masse puntiformi di peso qualsiasi si dispongono in equilibrio bilanciato ai vertici di un triangolo generando angoli direttamente proporzionali alle masse e tensori di energia trasdotta inversamente proporzionali alle masse.

I poligoni con più di tre lati hanno un incentro quando le bisettrici degli angoli s’incontrano nello stesso punto. Da ciò si evince che quattro (o cinque, sei, …) masse puntiformi con determinati pesi relativi, si dispongono in equilibrio bilanciato a precise condizioni. Nel caso di un quadrilatero, questo accade quando la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due (figura 29).

Figura 29. Incentro di un quadrilatero. La somma di due lati opposti (AD + BC) è uguale alla somma degli altri due (AB + DC)

Costruiamo il quadrilatero generato da quattro masse costituite da due coppie. Le due masse di ciascuna coppia hanno lo stesso peso. La massa di una coppia è il doppio della massa dell’altra coppia. Ipotizziamo che ciascuna massa della prima coppia abbia peso 1 e che ciascuna massa della seconda coppia abbia peso 1/2. A ciascuna massa della prima coppia è associato un braccio di dimensione 1 e a ciascuna massa della seconda coppia è associato a un braccio di dimensione 2. Questo quadrilatero ha gli angoli di 60, 60, 120 e 120 gradi.

Osserviamo l’immagine in basso. Essa illustra pesi e bracci delle quattro masse (figura 30).

Figura 30. Bracci e masse di un quadrilatero dagli angoli di 60, 60, 120, 120 gradi. Le quattro masse hanno peso: 1, 1, 1/2, 1/2. La lunghezza dei bracci è 1, 1, 2, 2.

Osserviamo l’immagine in basso. E’ illustrato un quadrilatero dagli angoli di 60, 60, 120, 120 gradi generato da quattro masse di peso 1, 1, 1/2, 1/2, disposte ai vertici. I bracci hanno lunghezza 1, 1, 2, 2 (figura 31).

Figura 31. Quadrilatero con gli angoli di 60, 60, 120 e 120 gradi generato da quattro masse di peso: 1, 1, 1/2, 1/2. Le due masse di peso 1 si dispongono agli angoli di 60 gradi; le due masse di peso 1/2 si dispongono agli angoli di 120 gradi.

Osserviamo l’immagine in basso. Sono mostrate le interazioni binarie e l’interazione quaternaria dei bracci di un quadrilatero generato da masse di peso 1, 1, 1/2, 1/2. L’incentro del quadrilatero è il centro di massa dell’interazione quaternaria (figura 32).

Figura 32. Incentro e fulcri di un quadrilatero generato da quattro masse di peso: 1, 1, 1/2, 1/2. Osservando la figura notiamo che la somma della lunghezza di due bracci opposti (verde + blu) è uguale alla somma della lunghezza degli altri due bracci opposti (rosso + giallo).

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